Calculateur de permutations et combinaisons
Calculateur de permutations et combinaisons
Répartition des formules nPr & nCr
Comprendre les permutations et combinaisons
Les deux comptent des façons de sélectionner r éléments parmi un ensemble de n — la seule question est de savoir si l'ordre de la sélection compte.
Pensez à une course avec 8 coureurs et 3 places sur le podium — qui obtient l'or, l'argent et le bronze est un résultat différent pour chaque ordre possible. C'est un problème de permutation : nPr.
Pensez à choisir 3 personnes parmi 8 pour former un comité — il n'y a pas de rôles, donc le groupe {Alice, Bob, Carole} est le même quel que soit l'ordre de sélection. C'est un problème de combinaison : nCr.
Les formules
Permutations
Combinaisons
Pourquoi les combinaisons sont toujours plus petites
Chaque combinaison de r éléments peut être réarrangée en r! permutations différentes. C'est exactement pourquoi la formule des combinaisons divise la formule des permutations par un facteur r! supplémentaire — elle regroupe tous ces arrangements équivalents en un seul décompte. Par exemple, choisir 3 lettres parmi {A, B, C, D} en tant que combinaison donne 4 résultats, mais en tant que permutation (où ABC et CBA comptent séparément), cela en donne 24 — six fois plus, puisque 3! = 6.
Les permutations sont toujours au moins aussi grandes que les combinaisons.
Zéro factorielle est défini comme égal à 1 par convention.
Vous ne pouvez pas choisir plus d'éléments qu'il n'en existe dans l'ensemble.
Points clés à retenir
- L'ordre compte pour les permutations, pas pour les combinaisons. C'est toute la distinction.
- n et r doivent tous deux être des nombres entiers non négatifs, et r ne peut jamais dépasser n.
- nCr est la brique de base de la probabilité combinatoire — voir l'onglet Combinatoire du Calculateur de probabilité.
- Les grandes valeurs de n font croître les factorielles extrêmement vite — vérifiez bien que vous avez réellement besoin du nombre complet de permutations plutôt que du nombre plus petit de combinaisons.
Questions fréquemment posées
- Saisissez n, le nombre total d'éléments.
- Saisissez r, le nombre d'éléments choisis ou arrangés.
- Cliquez sur « Calculer » pour voir à la fois nPr (permutations) et nCr (combinaisons), avec la répartition complète en factorielles pour chacune.
Une permutation (nPr) compte les arrangements où l'ordre compte — « première place, deuxième place, troisième place » est un résultat différent de « troisième, deuxième, première ». Une combinaison (nCr) compte les sélections où l'ordre ne compte pas — choisir 3 personnes pour un comité forme le même groupe quel que soit l'ordre dans lequel vous les avez choisies. Puisque chaque combinaison peut être arrangée en r! ordres différents, les permutations sont toujours supérieures ou égales aux combinaisons pour un même n et r.
nPr = n! ÷ (n − r)! part de tous les n! arrangements de l'ensemble complet, puis divise par les arrangements des n − r éléments que vous n'avez pas choisis (puisque leur ordre interne n'affecte pas quels r éléments ont été choisis ni dans quel ordre). nCr = n! ÷ (r!(n − r)!) prend ce même nombre de permutations et divise en plus par r! pour regrouper chaque réarrangement des r éléments choisis en une seule combinaison.
Vous ne pouvez pas choisir ou arranger plus d'éléments qu'il n'en existe dans l'ensemble — si vous n'avez que 5 éléments, vous ne pouvez pas en sélectionner 7. Le calculateur rejette toute saisie où r > n, car cela n'est mathématiquement pas défini, ni pour les permutations ni pour les combinaisons au sens ordinaire.
nP0 et nC0 valent tous deux 1 — il existe exactement une façon de choisir ou d'arranger zéro élément (ne rien faire). nCn vaut également 1 — il n'existe qu'une seule façon de choisir tous les éléments. nPn = n!, puisqu'arranger les n éléments dans tous les ordres possibles correspond simplement à toutes les permutations de l'ensemble complet.
Oui. Les permutations et les combinaisons sont toutes deux définies à l'aide de factorielles, qui n'ont de sens que pour des entiers non négatifs. Le calculateur rejette les décimales et les nombres négatifs pour l'un ou l'autre champ.