Calculadora de Permutaciones y Combinaciones
Desglose de la Fórmula nPr y nCr
Entendiendo Permutaciones y Combinaciones
Ambas cuentan formas de seleccionar r elementos de un conjunto de n — la única pregunta es si el orden de selección importa.
Piensa en una carrera con 8 corredores y 3 posiciones de medalla — quién obtiene oro, plata y bronce es un resultado diferente para cada orden posible. Ese es un problema de permutación: nPr.
Piensa en elegir 3 personas de 8 para formar un comité — no hay roles, así que el grupo {Alicia, Roberto, Carla} es el mismo sin importar el orden de selección. Ese es un problema de combinación: nCr.
Las Fórmulas
Permutaciones
Combinaciones
Por Qué las Combinaciones Son Siempre Más Pequeñas
Cada combinación de r elementos puede reordenarse en r! permutaciones distintas. Por eso exactamente la fórmula de combinación divide la fórmula de permutación entre un r! adicional — colapsa todos esos ordenamientos equivalentes en un solo conteo. Por ejemplo, elegir 3 letras de {A, B, C, D} como combinación da 4 resultados, pero como permutación (donde ABC y CBA cuentan por separado) da 24 — seis veces más, ya que 3! = 6.
Las permutaciones siempre son al menos tan grandes como las combinaciones.
El factorial de cero se define como 1 por convención.
No puedes elegir más elementos de los que existen en el conjunto.
Puntos Clave
- El orden importa en las permutaciones, no en las combinaciones. Esa es toda la distinción.
- Tanto n como r deben ser enteros no negativos, y r nunca puede superar a n.
- nCr es la base de la probabilidad combinatoria — mira la pestaña Combinatoria de la Calculadora de Probabilidad.
- Valores grandes de n hacen crecer los factoriales muy rápido — verifica que realmente necesitas el conteo total de permutaciones en lugar del conteo más pequeño de combinaciones.
Frequently Asked Questions
- Ingresa n, el número total de elementos.
- Ingresa r, el número de elementos que se eligen o se ordenan.
- Haz clic en "Calcular" para ver tanto nPr (permutaciones) como nCr (combinaciones), con el desglose completo de factoriales para cada una.
Una permutación (nPr) cuenta arreglos donde el orden importa — "primer lugar, segundo lugar, tercer lugar" es un resultado diferente a "tercero, segundo, primero". Una combinación (nCr) cuenta selecciones donde el orden no importa — elegir 3 personas para un comité es el mismo grupo sin importar el orden en que se eligieron. Como cada combinación puede ordenarse de r! formas distintas, las permutaciones siempre son mayores o iguales que las combinaciones para el mismo n y r.
nPr = n! ÷ (n − r)! comienza con las n! ordenaciones del conjunto completo, y luego divide entre las ordenaciones de los n − r elementos que no elegiste (ya que su orden interno no afecta cuáles r elementos fueron elegidos ni en qué orden). nCr = n! ÷ (r!(n − r)!) toma ese mismo conteo de permutaciones y además divide entre r! para colapsar cada reordenamiento de los r elementos elegidos en una sola combinación.
No puedes elegir u ordenar más elementos de los que existen en el conjunto — si solo tienes 5 elementos, no puedes seleccionar 7 de ellos. La calculadora rechaza cualquier entrada donde r > n ya que no está definida matemáticamente en el sentido ordinario, ni para permutaciones ni para combinaciones.
Tanto nP0 como nC0 son iguales a 1 — hay exactamente una forma de elegir u ordenar cero elementos (no hacer nada). nCn también es igual a 1 — solo hay una forma de elegir todos los elementos. nPn = n!, ya que ordenar los n elementos de todas las formas posibles es simplemente cada permutación del conjunto completo.
Sí. Tanto las permutaciones como las combinaciones se definen usando factoriales, que solo tienen sentido para enteros no negativos. La calculadora rechaza decimales y números negativos en cualquiera de los dos campos.