La media dice dónde está centrado un conjunto de datos. La desviación típica dice a qué distancia suelen quedar los valores de ese centro. Dos clases pueden tener la misma nota media y ser muy distintas: la desviación típica es lo que lo muestra.
Por qué no basta con la media
La clase A saca 68, 69, 70, 71, 72 y la clase B 40, 55, 70, 85, 100. Ambas promedian exactamente 70. Pero la desviación típica de A es 1,41 y la de B es 21,21: en A casi todos están cerca de 70; en B las notas se reparten por todo el rango.
Calcularla paso a paso
Tome los datos 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9, cuya media es 5.
- Reste la media a cada valor para obtener su desviación.
- Eleve cada desviación al cuadrado, lo que quita los signos y pesa más los errores grandes.
- Promedie los cuadrados. Es la varianza.
- Extraiga la raíz cuadrada para volver a las unidades originales. Es la desviación típica.
| Valor x | Desviación x − media | Al cuadrado |
|---|---|---|
| 2 | −3 | 9 |
| 4 | −1 | 1 |
| 4 | −1 | 1 |
| 4 | −1 | 1 |
| 5 | 0 | 0 |
| 5 | 0 | 0 |
| 7 | +2 | 4 |
| 9 | +4 | 16 |
| Total | 0 | 32 |
Los cuadrados suman 32. Dividir entre 8 da una varianza de 4 y una desviación típica de 2. La Calculadora de Desviación Estándar y la Calculadora de Estadísticas hacen estos pasos y muestran el desarrollo.
Población o muestra: dividir entre n o n − 1
Divida entre n cuando sus datos son toda la población, y entre n − 1 cuando son una muestra para estimar una población mayor. Con los mismos datos, la versión muestral da una varianza de 32 / 7 = 4,571 y una desviación típica de 2,138.
¿Por qué n − 1? Los valores de una muestra quedan más cerca de la media de la propia muestra que de la media verdadera, así que dividir entre n subestima la dispersión. Una comprobación exacta: la población 1, 2, 3, 4 tiene varianza 1,25. Liste las 16 muestras ordenadas de tamaño 2 (con reemplazo). Promediada en todas ellas, la varianza calculada con n − 1 es exactamente 1,25, el valor verdadero, mientras que dividir entre n da solo 0,625, la mitad.
La distribución normal y la regla 68-95-99,7
En datos con forma de campana, cerca del 68,3 % de los valores queda a una desviación típica de la media, el 95,4 % a dos y el 99,7 % a tres. Un valor a más de tres desviaciones es tan raro que merece una segunda mirada.
Puntuaciones z: medir en desviaciones típicas
Una puntuación z dice a cuántas desviaciones típicas está un valor de la media: z = (x − media) / DT. Una nota de 85 con media 70 y DT 10 tiene z = 1,5, que en una distribución normal es aproximadamente el percentil 93. Use la Calculadora de Puntuación Z para convertir en ambos sentidos.
De la dispersión a la incertidumbre
La desviación típica describe los datos. El error típico describe cuán incierta es la media: ET = DT / √n. Con DT = 15 y n = 100, ET = 1,5, así que una media muestral de 103 tiene un intervalo de confianza del 95 % de unos 103 ± 1,96 × 1,5, de 100,06 a 105,94 (la Calculadora de Intervalo de Confianza lo calcula y trata las muestras pequeñas con la distribución t). Comparar esa media con un valor declarado de 100 da z = (103 − 100) / 1,5 = 2 y un valor p bilateral de 0,0455, que la Calculadora de Valor P puede comprobar. La Calculadora de Prueba t compara dos grupos y la Calculadora de Tamaño de Muestra dice cuántos datos hacen falta para un margen de error dado.
Errores frecuentes
- Dar una media sin su dispersión. Una media sola oculta valores atípicos y datos bimodales.
- Usar el divisor equivocado. Las muestras usan
n − 1; las funciones de hoja de cálculo vienen en ambas versiones (DESVEST.MyDESVEST.P). - Aplicar la regla 68-95-99,7 a datos sesgados. Describe solo distribuciones en forma de campana.
- Leer un valor p como la probabilidad de que el resultado sea cierto. Es cuán sorprendentes serían los datos si no hubiera efecto; vea Valor p.
- Olvidar que los valores atípicos inflan la DT. Un valor extremo puede dominar los cuadrados; compare con la mediana y el rango en la Calculadora de Media, Mediana, Moda y Rango.