La moyenne dit où est centré un jeu de données. L'écart type dit à quelle distance les valeurs s'écartent d'ordinaire de ce centre. Deux classes peuvent avoir la même moyenne et pourtant être très différentes : l'écart type le montre.
Pourquoi la moyenne ne suffit pas
La classe A obtient 68, 69, 70, 71, 72 et la classe B 40, 55, 70, 85, 100. Les deux ont exactement 70 de moyenne. Mais l'écart type de A est de 1,4 et celui de B de 21,2 : dans A presque tous sont proches de 70, dans B les notes s'étalent sur toute l'échelle.
Le calculer pas à pas
Prenez les données 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9, de moyenne 5.
- Soustrayez la moyenne de chaque valeur pour obtenir son écart.
- Élevez chaque écart au carré, ce qui supprime les signes et pèse davantage les gros écarts.
- Faites la moyenne des carrés. C'est la variance.
- Prenez la racine carrée pour revenir aux unités d'origine. C'est l'écart type.
| Valeur x | Écart x − moyenne | Au carré |
|---|---|---|
| 2 | −3 | 9 |
| 4 | −1 | 1 |
| 4 | −1 | 1 |
| 4 | −1 | 1 |
| 5 | 0 | 0 |
| 5 | 0 | 0 |
| 7 | +2 | 4 |
| 9 | +4 | 16 |
| Total | 0 | 32 |
Les carrés totalisent 32. Diviser par 8 donne une variance de 4 et un écart type de 2. Le Calculateur d'écart type et le Calculateur de statistiques effectuent ces étapes et montrent le détail.
Population ou échantillon : diviser par n ou n − 1
Divisez par n quand vos données forment toute la population, et par n − 1 quand c'est un échantillon destiné à estimer une population plus grande. Pour les mêmes données, la version échantillon donne une variance de 32 / 7 = 4,571 et un écart type de 2,138.
Pourquoi n − 1 ? Les valeurs d'un échantillon sont plus proches de sa propre moyenne que de la vraie moyenne : diviser par n sous-estime donc la dispersion. Une vérification exacte : la population 1, 2, 3, 4 a une variance de 1,25. Listez les 16 échantillons ordonnés de taille 2 (avec remise). En moyenne sur tous, la variance calculée avec n − 1 vaut exactement 1,25, la vraie valeur, alors que diviser par n ne donne que 0,625, la moitié.
La loi normale et la règle 68-95-99,7
Pour des données en cloche, environ 68,3 % des valeurs se trouvent à un écart type de la moyenne, 95,4 % à deux et 99,7 % à trois. Une valeur à plus de trois écarts types est assez rare pour mériter un second regard.
Scores z : mesurer en écarts types
Un score z indique à combien d'écarts types une valeur se trouve de la moyenne : z = (x − moyenne) / ET. Une note de 85 avec une moyenne de 70 et un ET de 10 a un z = 1,5, soit, dans une loi normale, environ le 93ᵉ centile. Utilisez le Calculateur de score Z pour convertir dans les deux sens.
De la dispersion à l'incertitude
L'écart type décrit les données. L'erreur type décrit l'incertitude de la moyenne : ET moyenne = ET / √n. Avec ET = 15 et n = 100, l'erreur type vaut 1,5 ; une moyenne d'échantillon de 103 a donc un intervalle de confiance à 95 % d'environ 103 ± 1,96 × 1,5, de 100,06 à 105,94 (le Calculateur d'intervalle de confiance le calcule et traite les petits échantillons avec la loi t). Comparer cette moyenne à une valeur annoncée de 100 donne z = (103 − 100) / 1,5 = 2 et une valeur p bilatérale de 0,0455, que le Calculateur de valeur p peut vérifier. Le Calculateur de Test t compare deux groupes et le Calculatrice de Taille d'Échantillon indique la quantité de données nécessaire pour une marge d'erreur donnée.
Erreurs fréquentes
- Donner une moyenne sans sa dispersion. Une moyenne seule cache les valeurs extrêmes et les données bimodales.
- Prendre le mauvais diviseur. Les échantillons utilisent
n − 1; les fonctions de tableur existent dans les deux variantes (ECARTYPE.STANDARDetECARTYPE.PEARSON). - Appliquer la règle 68-95-99,7 à des données asymétriques. Elle ne décrit que les distributions en cloche.
- Lire une valeur p comme la probabilité que le résultat soit vrai. C'est la surprise des données si l'effet était nul ; voyez Valeur p.
- Oublier que les valeurs extrêmes gonflent l'ET. Une valeur extrême peut dominer les carrés ; comparez avec la médiane et l'étendue dans le Calculateur de Moyenne, Médiane, Mode & Étendue.