Le théorème de Bayes indique comment mettre à jour la probabilité d'une chose (une hypothèse A) après avoir vu un indice (B) : P(A|B) = P(B|A) × P(A) / P(B). Sa leçon célèbre est que la fréquence initiale d'un phénomène compte autant que la qualité du test. Faites vos propres calculs dans le calculateur du théorème de Bayes ; le terme est défini dans Théorème de Bayes.
L'idée en un exemple
Supposons que 1 % des personnes aient une maladie, qu'un test la détecte dans 90 % des cas (sensibilité) et signale à tort 9 % des personnes saines (la spécificité est donc de 91 %). Votre test est positif. Quelle probabilité d'être malade ?
Comptez des personnes plutôt que des probabilités
| Sur 10 000 personnes | Test positif | Test négatif | Total |
|---|---|---|---|
| Ont la maladie | 90 | 10 | 100 |
| Saines | 891 | 9 009 | 9 900 |
| Total | 981 | 9 019 | 10 000 |
Sur les 981 résultats positifs, seuls 90 sont réels ; la probabilité est donc 90 / 981 = 9,17 %, et non 90 %. Un résultat négatif est correct avec une probabilité de 99,89 %.
Mettre à jour avec un second test
Sous forme de cotes : cotes a priori 1 : 99, multipliées par le rapport de vraisemblance 0,90 / 0,09 = 10, donnent des cotes a posteriori de 10 : 99, soit 9,2 %. Un second test positif indépendant multiplie de nouveau les cotes par 10 : la probabilité devient 50,3 %.
Où l'on se trompe
- Ignorer le taux de base (l'erreur du taux de base) : citer la précision du test comme s'il s'agissait de la probabilité d'avoir raison.
- Confondre les sens : P(positif | malade) n'est pas P(malade | positif).
- Supposer l'indépendance : des tests répétés par la même méthode partagent souvent des erreurs, si bien que chacun n'apporte pas le plein facteur 10.
- Les estimations de la probabilité a priori et des taux d'erreur sont elles-mêmes incertaines ; la réponse vaut ce qu'elles valent.